Question

21.已知橢圓C₁:=1，拋物線C₂:(y-m)²=2px(p＞0)，且C₁、C₂的公共弦AB過橢圓C₁的右焦點.

(Ⅰ)當AB⊥x軸時，求m、p的值，并判斷拋物線C₂的焦點是否在直線AB上；

(Ⅱ)是否存在m、p的值，使拋物線C₂的焦點恰在直線AB上?若存在，求出符合條件的m、p的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

21．解  (Ⅰ)當AB⊥x軸時，點A、B關(guān)于x軸對稱，所以m=0，直線AB的方程為x=1，從而點A的坐標為(1，)或(1，-)．

 

因為點A在拋物線上，所以=2p，即p=.此時C₂的焦點坐標為(，0)，該焦點不在直線AB上．

（Ⅱ）解法一  假設(shè)存在m、p的值使C₂的焦點恰在直線AB上，由（Ⅰ）知直線AB的斜率存在，故可設(shè)直線AB的方程為y=k（x-1）.

由消去y得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0.                 ……①

設(shè)A、B的坐標分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），則x₁、x₂是方程①的兩根，x₁+x₂=.

由消去y得

（kx-k-m）²=2px.                                               ……②

因為C₂的焦點F′（，m）在y=k（x-1）上，

所以m=k（-1），即m+k=.代入②有（kx-）²=2px.

即k²x²-p（k²+2）x+=0.                                  ……③

由于x₁、x₂也是方程③的兩根，所以x₁+x₂=.

從而.               ……④

又AB過C₁、C₂的焦點，

所以|AB|=（x₁+）+（x₂+）=x₁+x₂+p=（2-x₁）+（2-），

則p=4-（x₁+x₂）=4-=.                    ……⑤

由④、⑤得=.

即k⁴-5k²-6=0.解得k²=6.

于是k=±，p=.

因為C₂的焦點F′（，m）在直線y=±（x-1）上，所以m=±（-1）.

即m=或m=-.

由上知，滿足條件的m、p存在，且m=或m=-，p=.

解法二  設(shè)A、B的坐標分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），

因為AB即過C₁的右焦點F（1，0），又過C₂的焦點F′（，m），

所以|AB|=（x₁+）+（x₂+）=x₁+x₂+p=（2-x₁）+（2-x₂）.

即x₁+x₂=（4-p）.                                              ……①

由（Ⅰ）知x₁≠x₂，p≠2，于是直線AB的斜率k=，

且直線AB的方程是y=（x-1）.                                            ……②

所以y₁+y₂=（x₁+x₂-2）=.                           ……③

又因為，所以3（x₁+x₂）+4（y₁+y₂）·=0.     ……④

將①、②、③代入④得m²=.                        ……⑤

因為，所以y₁+y₂-2m=2p                   ……⑥

將②、③代入⑥得m²=.                                 ……⑦

由⑤、⑦得=.即3p²+20p-32=0.

解得p=或p=-8（舍去）.

將p=代入⑤得m²=，所以m=或m=-.

由上知，滿足條件的m、p存在，且m=或m=-，p=.