Question

2．已知點P為△ABC所在的平面內(nèi)一點，且$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$，$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{PC}$•$\overrightarrow{PA}$=-1，則△ABC的面積為（　�。�

• A． $\frac{5\sqrt{3}}{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2$\sqrt{3}$
• D． $\frac{3\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$得到P為重心，由$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{PC}$•$\overrightarrow{PA}$，得到P又為垂心，得到三角形為等邊三角形，根據(jù)$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=-1以及向量的數(shù)量積公式和解直角三角形得到邊長為$\sqrt{6}$，即可求出三角形的面積．

解答 解：∵$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$，則$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$=-$\overrightarrow{PC}$，
由平行四邊形法則，得CP延長交AB于中點，
同理，BP延長交AC于中點，∴P為重心；
∵$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{PC}$•$\overrightarrow{PA}$，∴$\overrightarrow{PB}$（$\overrightarrow{PA}$-$\overrightarrow{PC}$）=0，
即PB⊥AC，同理PC⊥AB，∴P又為垂心，
∴三角形ABC為等邊三角形，
∵$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=-1，
∴|$\overrightarrow{PA}$|•|$\overrightarrow{PB}$|cos120°=-1，
∴|$\overrightarrow{PA}$|=|$\overrightarrow{PB}$|=$\sqrt{2}$，
∴|AB|=2|AP|cos30°=$\sqrt{6}$
∴S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×（$\sqrt{6}$）²=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
故選：D．

點評 本題考查兩向量的數(shù)量積的運算，以及兩向量的和、垂直的條件，考查三角形的重心和垂心，考查基本的運算能力，屬于中檔題．