Question

8．若函數(shù)y=f（x）+cosx在[-$\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}$]上單調(diào)遞減，則f（x）可以是（　�。�

• A． 1
• B． -sinx
• C． cosx
• D． sinx

Answer 1

分析 顯然y=cosx在$[-\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}]$上沒有單調(diào)性，從而說明y=1+cosx和y=2cosx在[$-\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}$]上沒有單調(diào)性，即說明選項A，C錯誤．而f（x）=-siinx時，可以得到y(tǒng)=$-\sqrt{2}sin（x-\frac{π}{4}）$，可換元令$x-\frac{π}{4}$=t，$t∈[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}]$，可以說明$y=-\sqrt{2}sint$在[$-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}$]上單調(diào)遞減，從而得出選項B正確，同樣的方法說明選項D錯誤．

解答 解：A．若f（x）=1，則y=1+cosx，顯然cosx在[$-\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}$]上沒有單調(diào)性；
∴y=1+cosx在[$-\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}$]上沒有單調(diào)性，即該選項錯誤；
B．若f（x）=-sinx，則y=-sinx+cosx=-$\sqrt{2}$sin（$x-\frac{π}{4}$）；
令$x-\frac{π}{4}=t$，$t∈[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}]$，則：sint在$[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}]$上單調(diào)遞增；
∴y=$-\sqrt{2}sint$在$[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}]$上單調(diào)遞減；
∴y=-sinx+cosx在[$-\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}$]上單調(diào)遞減，即該選項正確；
C同A，可說明C選項錯誤，D同B可說明D選項錯誤．
故選B．

點評 考查正、余弦函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)圖象判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，要熟悉正余弦函數(shù)的圖象，以及換元法判斷函數(shù)單調(diào)性．