已知邊長為a的等邊三角形內(nèi)任意一點(diǎn)到三邊距離之和為定值，這個定值為
3
2
，推廣到空間，棱長為a的正四面體內(nèi)任意一點(diǎn)到各個面的距離之和也為定值，則這個定值為：
6
3
a
6
3
a
．
分析：三角形內(nèi)任意一點(diǎn)到三邊距離和為定值是利用三角形面積相等得到的，類彼此可利用四面體的體積相等求得棱長為a的正四面體內(nèi)任意一點(diǎn)到各個面的距離之和．
解答：解：邊長為a的等邊三角形內(nèi)任意一點(diǎn)到三邊距離之和是由該三角形的面積相等得到的，
由此可以推測棱長為a的正四面體內(nèi)任意一點(diǎn)到各個面的距離之和可由體積相等得到．
方法如下，如圖，
在棱長為a的正四面體內(nèi)任取一點(diǎn)P，P到四個面的距離分別為h1，h2，h3，h4．
四面體A-BCD的四個面的面積相等，均為
3
4
a2，高為
6
3
a．
由體積相等得：
1
3
(h1+h2+h3+h4)•
3
4
a2=
1
3
•
3
4
a2•
6
3
a．
所以h1+h2+h3+h4=
6
3
a．
故答案為
6
3
a．
點(diǎn)評：本題考查了類比推理，考查了學(xué)生的空間想象能力，訓(xùn)練了等積法求點(diǎn)到面的距離，是基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知邊長為1的等邊△ABC，在線段AC上任取一點(diǎn)P（不與端點(diǎn)重合），將△ABP折起，使得平面BPC⊥平面ABP，則當(dāng)三棱錐A-PBC的體積最大時，點(diǎn)A到面PBC的距離是
 
．精英家教網(wǎng)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖邊長為a的等邊三角形ABC的中線AF與中位線DE交于點(diǎn)G，已知△A′DE是△ADE繞DE旋轉(zhuǎn)過程中的一個圖形，則下列命題中正確的是
①③
①③
．
①動點(diǎn)A′在平面ABC上的射影在線段AF上；
②BC∥平面A′DE；
③三棱錐A′-FED的體積有最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，邊長為a的等邊三角形ABC的中線AF與中位線DE交于點(diǎn)G，已知△A′DE（A∉平面ABC）是△ADE繞DE旋轉(zhuǎn)過程中的一個圖形，有下列命題：
①平面A′FG⊥平面ABC；
②BC∥平面A′DE；
③三棱錐A′-DEF的體積最大值為
164
a3；
④動點(diǎn)A′在平面ABC上的射影在線段AF上；
⑤直線DF與直線A′E可能共面．
其中正確的命題是
 
（寫出所有正確命題的編號）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011學(xué)年浙江省杭州二中高考數(shù)學(xué)第一次仿真試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

已知邊長為1的等邊△ABC，在線段AC上任取一點(diǎn)P（不與端點(diǎn)重合），將△ABP折起，使得平面BPC⊥平面ABP，則當(dāng)三棱錐A-PBC的體積最大時，點(diǎn)A到面PBC的距離是    ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：專項題 題型：填空題

已知邊長為1的等邊△ABC，在線段AC上任取一點(diǎn)P（不與端點(diǎn)重合），將△ABP沿PB折起，使得平面BPC⊥平面ABP，則當(dāng)三棱錐A-PBC的體積最大時，點(diǎn)A到面PBC的距離是（    ）。

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