Question

已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為F₁F₂，過(guò)F₁且傾斜角為60°的直線l與雙曲線交于M，N兩點(diǎn)，則△MNF₂的內(nèi)切圓半徑為    ．

Answer 1

【答案】分析：依題意可求得直線MN的方程，與-y²=1聯(lián)立，可求得|MN|，再利用雙曲線的定義可求得△MNF₂的周長(zhǎng)，設(shè)F₂到直線MN的距離為d，利用△MNF₂的面積公式即可求得△MNF₂的內(nèi)切圓半徑．
解答：解：∵-y²=1的右焦點(diǎn)為F₂（2，0），左焦點(diǎn)為F₁（-2，0），
∴過(guò)F₁且傾斜角為60°的直線l方程為：y=（x+2），
∴由 消去y得：8x²+36x+39=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則x₁，x₂是方程8x²+36x+39=0的兩根．
∴x₁+x₂=-，x₁x₂=，
∴|MN|=•
=2=．
∵|MF₂|-|MF₁|=2，
|NF₂|-|NF₁|=2，
∴|MF₂|+|NF₂|=4+|MN|=5．
∴△MNF₂的周長(zhǎng)為|MF₂|+|NF₂|+|MN|=6；
設(shè)F₂（2，0）到直線MNx-y+2=0的距離為d，
則d==2，
∴=|MN|•d=××2=3．
設(shè)△MNF₂的內(nèi)切圓半徑為r，
則=（|MF₂|+|NF₂|+|MN|）•r=3r，
∴3r=3，
∴r=．
故答案為：．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的相交，考查點(diǎn)到直線間的距離公式，考查轉(zhuǎn)化與運(yùn)算的綜合應(yīng)用，屬于難題．