【題目】已知雙曲線(,)的一條漸近線方程為,點(diǎn)在雙曲線上;拋物線()的焦點(diǎn)F與雙曲線的右焦點(diǎn)重合.
(1)求雙曲線和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過焦點(diǎn)F作一條直線l交拋物線于A,B兩點(diǎn),當(dāng)直線l的斜率為時(shí),求線段的長度.
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)由漸近線方程得,再由點(diǎn)在雙曲線上,代入后得的一個(gè)方程,聯(lián)立后可解得,得雙曲線方程,求出雙曲線的右焦點(diǎn)坐標(biāo),即為拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo),從而可得拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)由直線方程與拋物線方程聯(lián)立可解得交點(diǎn)坐標(biāo),然后由焦點(diǎn)弦長公式求得弦長.
解:(1)因?yàn)殡p曲線(,)的漸近線方程為,
所以①,又點(diǎn)在雙曲線上,所以②
由①②解得,,
故雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為;
設(shè)雙曲線的焦距為,因?yàn)?/span>,得,所以拋物線焦點(diǎn)為,
即,所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
(2)設(shè)直線交拋物線于,,
聯(lián)立得即,
故.
由拋物線定義知,,
所以
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著網(wǎng)絡(luò)的發(fā)展,網(wǎng)上購物越來越受到人們的喜愛,各大購物網(wǎng)站為增加收入,促銷策略越來越多樣化,促銷費(fèi)用也不斷增加.下表是某購物網(wǎng)站2017年1-8月促銷費(fèi)用(萬元)和產(chǎn)品銷量(萬件)的具體數(shù)據(jù).
(1)根據(jù)數(shù)據(jù)可知與具有線性相關(guān)關(guān)系,請建立關(guān)于的回歸方程(系數(shù)精確到);
(2)已知6月份該購物網(wǎng)站為慶祝成立1周年,特制定獎(jiǎng)勵(lì)制度:以(單位:件)表示日銷量, ,則每位員工每日獎(jiǎng)勵(lì)100元; ,則每位員工每日獎(jiǎng)勵(lì)150元; ,則每位員工每日獎(jiǎng)勵(lì)200元.現(xiàn)已知該網(wǎng)站6月份日銷量服從正態(tài)分布,請你計(jì)算某位員工當(dāng)月獎(jiǎng)勵(lì)金額總數(shù)大約多少元.(當(dāng)月獎(jiǎng)勵(lì)金額總數(shù)精確到百分位)
參考數(shù)據(jù): , ,其中, 分別為第個(gè)月的促銷費(fèi)用和產(chǎn)品銷量, .
參考公式:
(1)對于一組數(shù)據(jù), , , ,其回歸方程的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為, .
(2)若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,則, .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,等腰梯形中,,是的中點(diǎn).將沿折起后如圖2,使二面角成直二面角,設(shè)是的中點(diǎn),是棱的中
點(diǎn).
(1)求證:;
(2)求證:平面平面;
(3)判斷能否垂直于平面,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)為曲線上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)在線段上,且滿足,求點(diǎn)的軌跡的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)點(diǎn)的極坐標(biāo)為,點(diǎn)在曲線上,求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,三棱錐D-ABC中,,E,F分別為DB,AB的中點(diǎn),且.
(1)求證:平面平面ABC;
(2)求二面角D-CE-F的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓E:()的離心率是,,分別為橢圓E的左右頂點(diǎn),B為上頂點(diǎn),的面積為2.直線l過點(diǎn)且與橢圓E交于P,Q兩點(diǎn)(P,Q異于,)
(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)求的面積最大值;
(3)設(shè)直線與直線的斜率分別為,,求證:為常數(shù),并求出這個(gè)常數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且sin2A+sin2B+sin2C=sinAsinB+sinBsinC+sinCsin A.
(1)證明:△ABC是正三角形;
(2)如圖,點(diǎn)D在邊BC的延長線上,且BC=2CD,AD,求sin∠BAD的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),其短半軸長為,一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為,點(diǎn)在橢圓上,點(diǎn)在直線上的點(diǎn),且.
證明:直線與圓相切;
求面積的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某企業(yè)生產(chǎn)一種產(chǎn)品,從流水線上隨機(jī)抽取件產(chǎn)品,統(tǒng)計(jì)其質(zhì)量指標(biāo)值并繪制頻率分布直方圖(如圖1):規(guī)定產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值在的為劣質(zhì)品,在的為優(yōu)等品,在的為特優(yōu)品,銷售時(shí)劣質(zhì)品每件虧損元,優(yōu)等品每件盈利元,特優(yōu)品每件盈利元,以這件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值位于各區(qū)間的頻率代替產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值位于該區(qū)間的概率.
(1)求每件產(chǎn)品的平均銷售利潤;
(2)該企業(yè)主管部門為了解企業(yè)年?duì)I銷費(fèi)用(單位:萬元)對年銷售量(單位:萬件)的影響,對該企業(yè)近年的年?duì)I銷費(fèi)用和年銷售量,數(shù)據(jù)做了初步處理,得到的散點(diǎn)圖(如圖2)及一些統(tǒng)計(jì)量的值.
表中,,,.
根據(jù)散點(diǎn)圖判斷,可以作為年銷售量(萬件)關(guān)于年?duì)I銷費(fèi)用(萬元)的回歸方程.
①求關(guān)于的回歸方程;
②用所求的回歸方程估計(jì)該企業(yè)每年應(yīng)投入多少營銷費(fèi),才能使得該企業(yè)的年收益的預(yù)報(bào)值達(dá)到最大?(收益銷售利潤營銷費(fèi)用,取)
附:對于一組數(shù)據(jù),,,,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為,.
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