Question

15．已知a，b都是正實(shí)數(shù)，且滿足log₉（9a+b）=log₃$\sqrt{ab}$，則3a+b的最小值為12+6$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 先根據(jù)條件得出$\frac{1}{a}+\frac{9}$=1，再根據(jù)單位1，即貼1法求和基本不等式求函數(shù)的最小值．

解答 解：∵${log_9}（9a+b）={log_3}\sqrt{ab}$，
∴9a+b=ab，即$\frac{1}{a}+\frac{9}$=1，
所以，3a+b=（3a+b）•1
=（3a+b）•（$\frac{1}{a}+\frac{9}$）
=3+9+$\frac{a}$+$\frac{27a}$
≥12+2•$\sqrt{\frac{a}•\frac{27a}}$=12+6$\sqrt{3}$，
當(dāng)且僅當(dāng)：a=1+$\sqrt{3}$，b=3（3+$\sqrt{3}$）時(shí)，取“=”，
即3a+b的最小值為：12+6$\sqrt{3}$，
故答案為：12+6$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了基本不等式在求最值問(wèn)題中的應(yīng)用，涉及對(duì)數(shù)的運(yùn)算和“貼1法”的靈活運(yùn)用，屬于中檔題．