Question

15．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-a|x|-{a}^{2}-2，x≥-1}\\{ax-{a}^{2}-1，x＜-1}\end{array}\right.$，（a∈R）．
（1）當a=2時，解不等式f（x）≤2；
（2）證明：方程f（x）=0最少有1個解，最多有2個解，并求該方程有2個解時實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出a=2時，分段函數(shù)的解析式，討論x≥-1時，x＜-1時，解不等式，求并集即可得到所求解集；
（2）討論：①當x≥0時，②當x＜-1時，③當-1≤x＜0時，考慮函數(shù)式與方程的解，即可得證，并求出a的范圍．

解答 解：（1）當a=2時，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2|x|-6，x≥-1}\\{2x-5，x＜-1}\end{array}\right.$，
當x≥-1時，f（x）=x²-2|x|-6≤2，即為-2≤|x|≤4，解得-1≤x≤4；
當x＜-1時，f（x）=2x-5≤2，即為x≤$\frac{7}{2}$，解得x＜-1．
綜上可得，f（x）≤2的解集為{x|x≤4}；
（2）證明：①當x≥0時，△=a²+4（a²+4）＞0，記x²-ax-a²-2=0的兩根為x₁，x₂，
∵x₁x₂=-a²-2＜0，∴方程f（x）=0在（0，+∞）只有1個解；
②當x＜-1時，f（x）=ax-a²-1=0，
當a=0時，方程無解；
當a≠0時，x=a+$\frac{1}{a}$，若a＞0，則x=a+$\frac{1}{a}$≥2＞0，方程f（x）=0在（-∞，-1）無解；
若a＜0，則x=a+$\frac{1}{a}$≤-2＜-1，方程f（x）=0在（-∞，-1）只有一個解；
③當-1≤x＜0時，f（x）=x²+ax-a²-2，
由f（0）=-a²-2＜0，f（-1）=-a-a²-1=-（a²+a+1）=-（a+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{3}{4}$＜0，
可得f（x）=x²+ax-a²-2＜0，
則方程f（x）=0在[-1，0）無解．
綜上可得，a≥0時，f（x）=0只有一個解；
a＜0時，f（x）=0有兩個解．

點評 本題考查分段函數(shù)的應用：解不等式，注意各段的解析式，考查方程解的個數(shù)，注意運用函數(shù)方程思想，考查分類討論思想方法，考查化簡整理的運算能力，屬于難題．