Question

【題目】如圖，AB、PA、PBC分別為⊙O的切線和割線，切點A是BD的中點，AC、BD相交于點E，AB、PE相交于點F，直線CF交⊙O于另一點G、交PA于點K.

證明：（1）K是PA的中點；（2）..

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

（1)在△APC中，由塞瓦定理，知.……①

∵A是BD的中點，PA是⊙O的切線，

∴∠PAB=∠ADB=∠ABD.

∴EB∥AP，. ………………………………………②

由①、②，得AK=KP.K是PA的中點.

另解：∴A是BD的中點，PA是⊙O的切線，

∴∠PAB=∠ADB=∠ABD，EB∥AP.

如圖，過點F作MN∥AP，交AE于點M，交PB于點N.則

，.…………①

且EB∥AP∥MN，.…………②

∴由①、②，得.

∴FM=FN.

又由MN∥AP，得，

∴AK=KP，K是PA的中點.

（2）由（1）及切線長定理，得.因此，.

又∠PKG=∠CKP，

∴△PKG∽△CKP.

∠APG=∠KPG=∠KCP=∠GCB=∠BAG.

又∠PAG=∠ABG，

∴△GPA∽△GAB，.

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