Question

已知函數(shù)f(x)=

2x-b

(x-1)2

，求導(dǎo)函數(shù)f'（x），并確定f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)的求導(dǎo)法則進(jìn)行求導(dǎo)，然后由導(dǎo)數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，導(dǎo)數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減可得答案．

解答：解：f′(x)=

2(x-1)2-(2x-b)•2(x-1)

(x-1)4

=

-2x+2b-2

(x-1)3

=-

2[x-(b-1)]

(x-1)3

．
令f'（x）=0，得x=b-1．
當(dāng)b-1＜1，即b＜2時(shí)，f'（x）的變化情況如下表：

當(dāng)b-1＞1，即b＞2時(shí)，f'（x）的變化情況如下表：

所以，當(dāng)b＜2時(shí)，函數(shù)f（x）在（-∞，b-1）上單調(diào)遞減，在（b-1，1）上單調(diào)遞增，
在（1，+∞）上單調(diào)遞減．
當(dāng)b＞2時(shí)，函數(shù)f（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞減，在（1，b-1）上單調(diào)遞增，在（b-1，+∞）上單調(diào)遞減．
當(dāng)b-1=1，即b=2時(shí)，f(x)=-

2

(x-1)2

，所以函數(shù)f（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞減．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的求導(dǎo)方法和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用．導(dǎo)數(shù)題一般不會(huì)太難但公式記憶容易出錯(cuò)，要熟練掌握簡(jiǎn)單函數(shù)的求導(dǎo)法則．