(本題滿分14分)如圖,是等腰直角三角形,,分別為的中點,沿折起,得到如圖所示的四棱錐

(Ⅰ)在棱上找一點,使∥平面;

(Ⅱ)當四棱錐的體積取最大值時,求平面與平面夾角的余弦值.

 

(Ⅰ)點為棱的中點;(Ⅱ)平面與平面夾角的余弦值為

【解析】

試題分析:(Ⅰ)首先作出輔助線即取的中點,連接,由中位線性質(zhì)知,,

,且,.進而證明四邊形是平行四邊形,即.于是即可得出結(jié)論;(Ⅱ)首先運用線面關(guān)系證明底面,即就是四棱錐的高,然后分別以所在直線為軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,分別求出平面和平面的法向量,最后由二面角的平面角與法向量夾角之間的關(guān)系即可求出所求結(jié)果.

試題解析:(Ⅰ)點為棱的中點.證明如下:取的中點,連接,則由中位線定

理,,,且,.所以,,從而四邊形是平行四邊形,.又內(nèi),平面,故點為棱的中點時,∥平面

(Ⅱ)在平面內(nèi)作于點,平面,

,故⊥底面,即就是四棱錐的高.

知,點重合時,四棱錐的體積取最大值.

分別以所在直線為軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,

,

設(shè)平面的法向量為

,即,

可取

同理可以求得平面的一個法向量

故平面與平面夾角的余弦值為

考點:線面平行的判定;線面垂直的判定;空間向量在立體幾何中的應(yīng)用.

 

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,則該雙曲線的離心率是 ( )

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