如圖,已知AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,△ACD為等邊三角形,AD=DE=2AB,F(xiàn)為CD的中點(diǎn)
(Ⅰ) 求證:平面BCE⊥平面CDE;
(Ⅱ) 求二面角B-EF-D的余弦值.
分析:(1)設(shè)CE中點(diǎn)為M,連接BM,MF,則CB=BE,BM⊥CE,由MF
.
BA,知MB
.
FA,由此能夠證明平面BCE⊥平面CDE.
(2)過M作MP⊥EF于P,連接BP,設(shè)底面正三角形邊長為2,由BM⊥平面CDE,知BM⊥EF,由MP⊥EF,知EF⊥BP,所以∠BPM是二面角B-EF-D的平面角的補(bǔ)角,由此能求出二面角B-EF-D的余弦值.
解答:解:(1)設(shè)CE中點(diǎn)為M,連接BM,MF,則CB=BE,BM⊥CE,
∵M(jìn)F
.
BA,∴MB
.
FA,
∵DE⊥平面ACD,∴DE⊥AF,∴DE⊥BM,
又∵CE∩DE=E,∴BM⊥平面CDE,
又∵BM?平面BCE,
∴平面BCE⊥平面CDE.
(2)過M作MP⊥EF于P,連接BP,
設(shè)底面正三角形邊長為2,
∵BM⊥平面CDE,∴BM⊥EF,
又∵M(jìn)P⊥EF,∴EF⊥平面BMP,
∴EF⊥BP,
∴∠BPM是二面角B-EF-D的平面角的補(bǔ)角,
∵BM=
3
,MP=
5
5
,
∴cos∠BPM=
1
4

∴二面角B-EF-D的余弦值為-
1
4
點(diǎn)評(píng):本題考查平面與平面垂直的證明,考查二面角的余弦值的求法.解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用.
練習(xí)冊系列答案
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(2012•惠州模擬)如圖,已知AB⊥平面ACD,DE∥AB,△ACD是正三角形,AD=DE=2AB,且F是CD的中點(diǎn).
(1)求證:AF∥平面BCE;
(2)求證:平面BCE⊥平面CDE;
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(2012•棗莊一模)如圖,已知AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,△ACD為等邊三角形,AD=DE=2AB,F(xiàn)為CD的中點(diǎn).
(1)求證:AF∥平面BCE;
(2)求直線BF和平面BCE所成角的正弦值.

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如圖,已知AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,三角形ACD為等邊三角形,AD=DE=2AB,F(xiàn)為CD的中點(diǎn)
(1)求證:AF∥平面BCE;
(2)求證:平面BCE⊥平面CDE;
(3)求二面角F-BE-C的大。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,且AC=AD=DE=2AB=4,F(xiàn)為CD的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:AF∥平面BCE;
(Ⅱ) 若∠CAD=90°,求三棱錐F-BCE的體積.

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