Question

（本題滿分14分）已知圓：．

（Ⅰ）直線過點，且與圓交于、兩點，若，求直線的方程；

（Ⅱ）過圓上一動點作平行于軸的直線，設與軸的交點為，若向量，求動點的軌跡方程，并說明此軌跡是什么曲線．

Answer 1

（Ⅰ）x=1，3x－4y+5=0,；

（Ⅱ）（y≠0）軌跡為長軸長為8，短軸長為4，焦距為4且焦點在y軸上的橢圓且去掉橢圓短軸的兩個端點

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由直線與圓位置關系得：半徑，半弦長，圓心到直線距離構成勾股,即，因此d=1，又直線過點，故利用直線方程點斜式求解，注意先討論斜率不存在情況：若⊥x軸，直線方程為x=1，A(1,－)，B（1，），，適合；若的斜率存在，設的方程為y=k(x－1)+2，圓心到直線的距離為d=1= 解得k=，直線方程為3x－4y+5=0,（Ⅱ）相關點法求軌跡方程：先找出所求的與已知動點之間關系，代入已知動點軌跡，化簡即得所求動點軌跡方程：設M（，）（≠0）.則N（0，），Q（x，y），則 ，又，動點Q的軌跡方程為（y≠0）軌跡為長軸長為8，短軸長為4，焦距為4且焦點在y軸上的橢圓且去掉橢圓短軸的兩個端點

試題解析：【解析】
（Ⅰ）若⊥x軸，直線方程為x=1，A(1,－)，B（1，），，適合---3分

若的斜率存在，設的方程為y=k(x－1)+2，圓心到直線的距離為d=，圓半徑為2，故，k=，直線方程為3x－4y+5=0, ------7分

綜上所求直線的方程為x=1，3x－4y+5=0,； -----8分

（Ⅱ）設M（，）（≠0）.則N（0，），Q（x，y），則 ----2分

又，動點Q的軌跡方程為（y≠0） -----5分

軌跡為長軸長為8，短軸長為4，焦距為4且焦點在y軸上的橢圓且去掉橢圓短軸的兩個端點.----6分

考點：直線與圓位置關系，軌跡方程