Question

7．已知函數(shù)f（x）=-x³+3x+a是奇函數(shù)，且函數(shù)g（x）=|f（x）-k|-1有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，-3）
• B． （1，+∞）
• C． （-∞，-3）∪（3，+∞）
• D． （-∞，-3）∪（4，+∞）

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)求出a=0，利用函數(shù)與方程的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=-x³+3x+a是奇函數(shù)，
∴f（0）=0，即f（0）=a=0，
則a=0，
則函數(shù)f（x）=-x³+3x，
由函數(shù)g（x）=|f（x）-k|-1有兩個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)為g（x）=|f（x）-k|-1=0有兩個(gè)根，
即|f（x）-k|=1，即f（x）=k+1或f（x）=k-1共有兩個(gè)不同的根，
函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）=-3x²+3=-3（x²-1）
由f′（x）＞0得-1＜x＜1，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
由f′（x）＜0得x＞1或x＜-1，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
即當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)取得極小值f（-1）=1-3=-2，
當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取得極大值f（1）=-1+3=2，
作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：
∵k+1＞k-1，
∴若f（x）=k+1或f（x）=k-1共有兩個(gè)不同的根，
則滿足k+1＜-2或k-1＞2，
即k＞3或k＜-3，
故選：C

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，利用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)求出a的值，以及利用數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題是解決本題的關(guān)鍵．