Question

16．已知f（x）=xⁿ+x^n-1+…+x-1，x∈（0，+∞）．n是不小于2的固定正整數(shù)．
（1）當(dāng)n=2時(shí)，若不等式f（x）≤kx對(duì)一切x∈（0，1]恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（2）試判斷函數(shù)f（x）在（${\frac{1}{2}$，1）內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）代入得表達(dá)式$x-\frac{1}{x}+1≤k，\;x∈（0，1]$．只需求出左式的最大值即可；
（2）先求出端點(diǎn)值f（$\frac{1}{2}$）＜0，f（1）＞0，判斷存在零點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)遞增，故僅有一個(gè)零點(diǎn)．

解答 解：（1）n=2時(shí)，f（x）=x²+x-1，--（1分）
f（x）≤kx即$x-\frac{1}{x}+1≤k，\;x∈（0，1]$．-（3分）
$x-\frac{1}{x}+1$在（0，1]上遞增，--（5分）
故即要求$1-\frac{1}{1}+1≤k$，即k≥1．-（7分）
（2）$f（{\frac{1}{2}}）={（{\frac{1}{2}}）^n}+{（{\frac{1}{2}}）^{n-1}}+…+\frac{1}{2}-1=1-{（{\frac{1}{2}}）^n}-1=-{（{\frac{1}{2}}）^n}＜0$．-（2分）
f（1）=n-1＞0．-（3分）
故f（x）在$（{\frac{1}{2}，1}）$上有零點(diǎn)．-（4分）
又f（x）在$（{\frac{1}{2}，1}）$上增，故零點(diǎn)不會(huì)超過(guò)一個(gè)．-（6分）
所以f（x）在$（{\frac{1}{2}，1}）$上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．-（7

點(diǎn)評(píng) 考查了對(duì)新定義函數(shù)類型的做題．難點(diǎn)是對(duì)定義中函數(shù)的深刻理解和對(duì)函數(shù)零點(diǎn)的理解．