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17.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短軸長(zhǎng)為2,離心率e=22
(1)求橢圓C的方程;
(2)若斜率為k的直線過(guò)點(diǎn)M(2,0),且與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn).試求k為何值時(shí),三角形OAB是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形.

分析 (1)由橢圓短軸長(zhǎng)為2,離心率e=22,列出方程組,求出a,b,由此能求出橢圓方程.
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線AB的方程為y=k(x-2),代入橢圓x22+y2=1中,得到關(guān)于x的一元二次方程,由判別式求出k的取值范圍,和用k表示的x1+x2,x1x2的表達(dá)式,根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示的充要條件列出關(guān)于k的方程,求解即可.

解答 解:(1)∵橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短軸長(zhǎng)為2,離心率e=22,
{2b=2e=ca=22a2=2+c2
解得a2=2,b2=1,
∴橢圓方程為x22+y2=1.
(2)由已知直線AB的斜率存在,設(shè)AB的方程為:y=k(x-2),
{y=kx2x22+y2=1,得(1+2k2)x2-8k2x+8k2-2=0,
∵斜率為k的直線過(guò)點(diǎn)M(2,0),且與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),
∴△=64k4-4(1+2k2)(8k2-2)>0,
解得:k212,即k∈(-2222),
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),x1+x2=8k21+2k2x1x2=8k221+2k2,
∵O為直角頂點(diǎn),∴OAOB=x1y1+x2y2=0,
∵y1y2=k(x1-2)•k(x2-2),
8k221+2k2+4k21+2k2=0,解得k=±55,滿足k212,∴k=±55

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法,考查滿足條件的實(shí)數(shù)值的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意橢圓性質(zhì)、根的判別式、韋達(dá)定理、向量垂直等知識(shí)點(diǎn)的合理運(yùn)用.

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