Question

如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐P-ABCD中，AB⊥AC，PA⊥面ABCD，AP=AB=3，AD=5，點(diǎn)E是PD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）求直線AB與平面EAC所成角大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定,直線與平面所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）連結(jié)BD交AC于點(diǎn)O，并連結(jié)EO，先利用中位線的性質(zhì)證明出OE∥PB，進(jìn)而根據(jù)線面平行的判定定理證明出PB∥面AEC．
（Ⅱ）先建立空間直角坐標(biāo)系，求得A，B，C，D，P，E的坐標(biāo)，進(jìn)而求得

AB

，

AE

，

AC

的坐標(biāo)，求出平面EAC一個(gè)法向量設(shè)直線AB與平面EAC所成角為α，利用向量的數(shù)量積公式求得答案．

解答： 證明：（Ⅰ）連結(jié)BD交AC于點(diǎn)O，并連結(jié)EO，
∵四邊形ABCD為平行四邊形

∴O為BD的中點(diǎn)，
∵E為PD的中點(diǎn)
∴在△PDB中EO為中位線，
∴OE∥PB，
∵PB?平面AEC，EO?面AEC
∴PB∥面AEC．
（Ⅱ）以A為原點(diǎn)，

AC

，

AB

，

AP

分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0，0，0），B（0，3，0），C（4，0，0），D（4，-3，0），P（0，0，3），E(2，-

3

2

，

3

2

)，
則

AB

=（0，3，0），

AE

=(2，-

3

2

，

3

2

)，

AC

=（4，0，0），
設(shè)平面EAC一個(gè)法向量

n

=(x，y，z)，則

n • AE =0 n • AC =0

，即

(x，y，z)•(2，- 3 2 ， 3 2 )=0 (x，y，z)•(4，0，0)=0

，
令y=1，得x=0，z=1，所以

n

=(0，1，1)．
設(shè)直線AB與平面EAC所成角為α，則sinα=|cos＜

AB

，

n

＞|=

| AB • n|

| AB |• |n|

=

3

3 2

=

2

2

，
又α∈[0，

π

2

]，所以求直線AB與平面EAC所成角等于

π

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了線面平行的判定定理的應(yīng)用，平面法向量的應(yīng)用．綜合考查了學(xué)生推理和分析的能力．