6.已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足:f(1)=1,f(x)<f′(x),則關于x的不等式f(x+1)<ex的解集為(-∞,0).

分析 構造函數(shù)g(x)=$\frac{f(x)}{{e}^{x-1}}$(x∈R),研究g(x)的單調性,結合原函數(shù)的性質和函數(shù)值,即可求解.

解答 解:設g(x)=$\frac{f(x)}{{e}^{x-1}}$(x∈R),
則g′(x)=$\frac{f′(x)-f(x)}{{e}^{x-1}}$,
∵f′(x)>f(x),
∴f′(x)-f(x)>0
∴g′(x)>0,
∴y=g(x)在定義域上單調遞增,
∵f(x+1)<ex,f(1)=1,
∴g(x+1)<g(1)
∴x+1<1,
∴x<0,
∴不等式f(x+1)<ex的解集為(-∞,0).
故答案為:(-∞,0).

點評 本題考查函數(shù)單調性與奇偶性的結合,結合已知條件構造函數(shù),然后用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性是解題的關鍵.

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