Question

下列四種說法
①在△ABC中，若∠A＞∠B，則sinA＞sinB；
②等差數(shù)列{a_n}中，a₁，a₃，a₄成等比數(shù)列，則公比為

1

2

；
③已知a＞0，b＞0，a+b=1，則

2

a

+

3

b

的最小值為5+2

6

；
④在△ABC中，已知

a

cosA

=

b

cosB

=

c

cosC

，則∠A=60°．
正確的序號有

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：計算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列,解三角形,不等式的解法及應(yīng)用

分析：運用三角形的邊角關(guān)系和正弦定理，即可判斷①；
運用等差數(shù)列的通項公式和等比數(shù)列的性質(zhì)，即可求得公比，進而判斷②；
運用1的代換，化簡整理運用基本不等式即可求得最小值，即可判斷③；
運用正弦定理和同角的商數(shù)關(guān)系，結(jié)合內(nèi)角的范圍，即可判斷④．

解答： 解：對于①在△ABC中，若∠A＞∠B，則a＞b，即有2RsinA＞2RsinB，即sinA＞sinB，則①正確；
對于②等差數(shù)列{a_n}中，a₁，a₃，a₄成等比數(shù)列，則有a₃²=a₁a₄，即有（a₁+2d）²=a₁（a₁+3d），
解得a₁=-4d或d=0，則公比為

a3

a1

=1或

1

2

，則②錯誤；
對于③，由于a＞0，b＞0，a+b=1，則

2

a

+

3

b

=（a+b）（

2

a

+

3

b

）=5+

2b

a

+

3a

b

≥5+2

2b a • 3a b

=5+2

6

，
當(dāng)且僅當(dāng)

2

b=

3

a，取得最小值，且為5+2

6

，則③正確；
對于④，在△ABC中，

a

cosA

=

b

cosB

=

c

cosC

即為

sinA

cosA

=

sinB

cosB

=

sinC

cosC

，即tanA=tanB=tanC，
由于A，B，C為三角形的內(nèi)角，則有A=B=C=60°，則④正確．
綜上可得，正確的命題有①③④．
故答案為：①③④．

點評：本題考查正弦定理的運用，考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項和性質(zhì)，考查基本不等式的運用：求最值，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題和易錯題．