Question

13．己知圓C的半徑為4，圓心在x軸負半軸上，且與直線l₁：4x+3y-4=0相切，又直線l₂：mx+y+1=0與圓C相交于A、B兩點．
（I）求圓C的方程；
（Ⅱ）求實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅲ）若過點P（0，-2）的一條直線l與弦AB交于點Q，問：是否存在實數(shù)m，使得點Q同時滿足①Q是AB中點，②PQ⊥AB？若存在，求出實數(shù)m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （I）利用圓C與直線l₁：4x+3y-4=0相切，求出圓心作弊，即可求圓C的方程；
（Ⅱ）利用圓心到直線的距離小于半徑，即可求實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅲ）利用PQ為線段AB的中垂線，求出m，得出矛盾，即可得出結論．

解答 解：（I）設圓C的方程為（x-a）²+y²=16（a＜0），
∵圓C與直線l₁：4x+3y-4=0相切，
∴$\frac{|4a-4|}{\sqrt{16+9}}$=4，
∴a=-4或a=6（舍去），
∴圓C的方程為（x+4）²+y²=16；
（Ⅱ）∵直線l₂：mx+y+1=0與圓C相交于A、B兩點，
∴$\frac{|-4m+1|}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$＜4，
∴m＞-$\frac{15}{8}$；
（Ⅲ）∵Q是AB中點，PQ⊥AB，
∴AB⊥PQ，
∴PQ為線段AB的中垂線，
∴PQ過圓心（-4，0），
∵P（0，-2），
∴k_PQ=-$\frac{1}{2}$，
∵k_PQk_AB=-1，
∴-$\frac{1}{2}•$（-m）=-1，
∴m=-2，不滿足m＞-$\frac{15}{8}$，
∴不存在實數(shù)m，使得點Q同時滿足①Q是AB中點，②PQ⊥AB．

點評 本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關系，考查點到直線的距離公式，考查學生的計算能力，屬于中檔題．