Question

10．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{3}$，短軸長為$2\sqrt{2}$，過右焦點(diǎn)F的直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)．O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若點(diǎn)P在橢圓C上，且$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）由題意可得b=$\sqrt{2}$，運(yùn)用離心率公式和a，b，c的關(guān)系，可得a，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．（�。┊�(dāng)l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)l的方程為y=k（x-1），代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和向量的坐標(biāo)表示，解方程可得k；（ⅱ）當(dāng)l垂直于x軸時(shí)，由向量的加法運(yùn)算，即可判斷．

解答 解：（1）由2b=2$\sqrt{2}$．得b=$\sqrt{2}$，
即有$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，a²-c²=2，
所以$a=\sqrt{3}，c=1$，
則橢圓方程為$\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1$；
（2）橢圓C的方程為2x²+3y²=6．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
（ⅰ）當(dāng)l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)l的方程為y=k（x-1）．
C上的點(diǎn)P使$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$成立的充要條件是P點(diǎn)坐標(biāo)為（x₁+x₂，y₁+y₂），
且2（x₁+x₂）²+3（y₁+y₂）²=6，
整理得2x₁²+3y₁²+2x₂²+3y₂²+4x₁x₂+6y₁y₂=6，
又A、B在橢圓C上，即2x₁²+3y₁²=6，2x₂²+3y₂²=6，
故2x₁x₂+3y₁y₂+3=0．①
將y=k（x-1）代入2x²+3y²=6，并化簡得
（2+3k²）x²-6k²x+3k²-6=0，
于是x₁+x₂=$\frac{6{k}^{2}}{2+3{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{3{k}^{2}-6}{2+3{k}^{2}}$，
y₁•y₂=k²（x₁-1）（x₂-1）=$\frac{-4{k}^{2}}{2+3{k}^{2}}$．
代入①解得k²=2，
因此，當(dāng)k=-$\sqrt{2}$時(shí)，l的方程為$\sqrt{2}$x+y-$\sqrt{2}$=0；
當(dāng)k=$\sqrt{2}$時(shí)，l的方程為$\sqrt{2}$x-y-$\sqrt{2}$=0．
（ⅱ）當(dāng)l垂直于x軸時(shí)，由$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=（2，0）知，
C上不存在點(diǎn)P使$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$成立．
綜上，l的方程為$\sqrt{2}$x±y-$\sqrt{2}$=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用離心率公式，考查直線方程的求法，注意運(yùn)用分類討論的思想方法和直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和向量的坐標(biāo)表示，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．