Question

在平面直角坐標系xOy中，O為坐標原點，以O為圓心的圓與直線相切．
（Ⅰ）求圓O的方程；
（Ⅱ）直線l：y=kx+3與圓O交于A，B兩點，在圓O上是否存在一點M，使得四邊形OAMB為菱形，若存在，求出此時直線l的斜率；若不存在，說明理由．

Answer 1

（本小題共13分）
解：（Ⅰ）設圓O的半徑為r，圓心為（0，0），
∵直線x-y-4=0與圓O相切，
∴d=r==2，…（3分）
則圓O的方程為x²+y²=4；…（5分）
（Ⅱ）在圓O上存在一點M，使得四邊形OAMB為菱形，理由為：
法1：∵直線l：y=kx+3與圓O相交于A，B兩點，
∴圓心O到直線l的距離d=＜r=2，
解得：k＞或k＜-，…（7分）
假設存在點M，使得四邊形OAMB為菱形，…（8分）
則OM與AB互相垂直且平分，…（9分）
∴圓心O到直線l：y=kx+3的距離d=|OM|=1，…（10分）
即d==1，整理得：k²=8，…（11分）
解得：k=±2，經(jīng)驗證滿足條件，…（12分）
則存在點M，使得四邊形OAMB為菱形；…（13分）
法2：記OM與AB交于點C（x₀，y₀），
∵直線l斜率為k，顯然k≠0，
∴OM直線方程為y=-x，…（7分）
將直線l與直線OM聯(lián)立得：
，
解得：，
∴點M坐標為（，），…（9分）
又點M在圓上，將M坐標代入圓方程得：（）²+（）²=4，
解得：k²=8，…（11分）
解得：k=±2，經(jīng)驗證滿足條件，…（12分）
則存在點M，使得四邊形OAMB為菱形．…（13分）
分析：（Ⅰ）設圓O的半徑為r，由圓心為原點（0，0），根據(jù)已知直線與圓O相切，得到圓心到直線的距離d=r，利用點到直線的距離公式求出圓心O到已知直線的距離d，即為圓的半徑r，由圓心和半徑寫出圓O的標準方程即可；
（Ⅱ）在圓O上存在一點M，使得四邊形OAMB為菱形．理由為：
法1：由直線l與圓O相交，得到圓心到直線l的距離d小于圓的半徑r，利用關于k的不等式，求出不等式的解集得到k的范圍，假設存在點M，使得四邊形OAMB為菱形，利用菱形的性質(zhì)得到對角線OM與AB垂直且平分，可得出圓心O到直線l的距離d等于|OM|的一半，即為半徑的一半，根據(jù)半徑求出d的值，列出關于k的方程，求出方程的解得到k的值，代入k范圍中檢驗，滿足條件，故存在點M，使得四邊形OAMB為菱形；
法2：記OM與AB交于點C（x₀，y₀），由菱形的對角線互相垂直，根據(jù)直線l的斜率為k（k不為0），利用兩直線垂直時斜率的乘積為-1求出直線OM的斜率，確定出直線OM的方程，將直線OM的方程與直線l方程聯(lián)立組成方程組，求出方程組的解表示出x₀與y₀，確定出M的坐標，將M的坐標代入圓O的方程中，得到關于k的方程，求出方程的解得到k的值，經(jīng)檢驗滿足條件，故存在點M，使得四邊形OAMB為菱形．
點評：此題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，直線與圓的位置關系，以及圓的標準方程，涉及的知識有：點到直線的距離公式，兩直線的交點問題，菱形的性質(zhì)，以及兩直線垂直時斜率滿足的關系，當直線與圓相切時，圓心到直線的距離等于圓的半徑；當直線與圓相交時，圓心到直線的距離小于圓的半徑；當直線與圓相離時，圓心到直線的距離大于圓的半徑．