Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA⊥平面ABCD，且PA=AD=AB=1．
（1）若BC=3，求異面直線(xiàn)PC與BD所成角的余弦值；
（2）若BC=2，求證：平面BPC⊥平面PCD；
（3）設(shè)E為PC的中點(diǎn)，在線(xiàn)段BC上是否存在一點(diǎn)F，使得EF⊥CD？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,異面直線(xiàn)及其所成的角,直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì)

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的數(shù)量積解決．

解答： 解：建立坐標(biāo)系如圖，

（1）P（0，0，1），C（1，3，0），B（1，0，0），D（0，1，0），
所以

PC

=（1，3，-1），

BD

=（-1，1，0），
所以cos＜

PC

，

BD

＞=

PC • BD

| PC || BD |

=

-1+3

11 2

=

22

11

，
所以異面直線(xiàn)PC與BD所成角的余弦值為

22

11

；
（2）設(shè)平面BPC的一個(gè)法向量為

n

=（x，y，z），平面PCD的一個(gè)法向量為

m

=（a，b，c），
則由

n • PB =0 n • BC =0

及

m • PD =0 m • DC =0

，
得

x-z=0 2y=0

及

b-c=0 a+b=0

，取x=1，b=c=1，
所以

n

=（1，0，1），

m

=（-1，1，1），

n

•

m

=-1+0+1=0，
所以

n

⊥

m

，
所以平面BPC⊥平面PCD；
（3）假設(shè)存在存在一點(diǎn)F，使得EF⊥CD，設(shè)CB=x，BF=y，那么E（

1

2

，

x

2

，

1

2

），F(xiàn)（1，y，0），

EF

=（

1

2

，y-

x

2

，-

1

2

），

CD

=（-1，1-x，0），

EF

•

CD

=-

1

2

+(1-x)(y-

x

2

)=0，所以存在x，y使等式成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用空間向量解決異面直線(xiàn)所成的角以及面面垂直的問(wèn)題，關(guān)鍵要適當(dāng)建立坐標(biāo)系，正確寫(xiě)出所需向量的坐標(biāo)，屬于中檔題．