過點P(2,4)作兩條互相垂直的直線l1、l2,l1交x軸于A點,l2交y軸于B點,求線段AB的中點M的軌跡方程.

解法一:設點M的坐標為(x,y),

∵M為線段AB的中點,

∴A的坐標為(2x,0),B的坐標為(0,2y).

∵l1⊥l2,且l1、l2過點P(2,4),

∴PA⊥PB,kPA·kPB=-1.

而kPA=,kPB=(x≠1).

=-1(x≠1),

整理得x+2y-5=0(x≠1).

∵當x=1時,A、B的坐標分別為(2,0)、(0,4),

∴線段AB的中點坐標是(1,2),它滿足方程x+2y-5=0.

綜上所述,點M的軌跡方程是x+2y-5=0.

解法二:如圖,設M的坐標為(x,y),則A、B兩點坐標分別是(2x,0)、(0,2y),連接PM.

∵l1⊥l2,

∴2|PM|=|AB|.

而|PM|=,

|AB|=,∴2.

化簡,得x+2y-5=0為所求軌跡方程.

解法三:設M的坐標為(x,y),連接PM、OM,由l1⊥l2知A、O、B、P四點共圓,AB為圓的直徑,M為圓心,則有|OM|=|MP|.

.

化簡得x+2y-5=0,為所求軌跡方程.


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