Question

過點(diǎn)P（2，4）作兩條互相垂直的直線l₁、l₂，若l₁交x軸于A點(diǎn)，l₂交y軸于B點(diǎn)，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

分析：設(shè)M的坐標(biāo)為（x，y），欲求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程，只須求出坐標(biāo)x，y的關(guān)系式即可，由題意得2|PM|=|AB|，利用兩點(diǎn)間的距離公式將點(diǎn)的坐標(biāo)代入后化簡(jiǎn)即得M的軌跡方程．

解答：解：設(shè)M的坐標(biāo)為（x，y），
則A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（2x，0），（0，2y），連接PM，
∵l₁⊥l₂，∴2|PM|=|AB|．
而|PM|=

(x-2)2+(y-4)2

，
|AB|=

(2x)2+(2y)2

，
∴2

(x-2)2+(y-4)2

=

4x2+4y2

．
化簡(jiǎn)，得x+2y-5=0即為所求的軌跡方程．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了軌跡方程、兩條直線垂直與傾斜角、斜率的關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．