Question

【題目】如圖，在直三棱柱中，，，，，為的中點(diǎn).

（1）證明：平面；

（2）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析 （2）

【解析】

（1）連接交于點(diǎn)，連接，由矩形的性質(zhì)，結(jié)合三角形中位線(xiàn)定理可得，由線(xiàn)面平行的判定定理可得結(jié)果；（2）先證明，分別以，，為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求得直線(xiàn)的方向向量，利用向量垂直數(shù)量積為零列方程求得平面的法向量，由空間向量夾角余弦公式可得結(jié)果.

（1）連接交于點(diǎn)，連接，因?yàn)樗倪呅?/span>是矩形，所以點(diǎn)是的中點(diǎn)，

又點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以是的中位線(xiàn)，所以.

因?yàn)?/span>平面，平面，

所以平面.

（2）由，，，可得，

分別以，，為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則有，，，，

所以，，，

設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為，平面的法向量為，

則，即，令，得，

所以 .