Question

等差數(shù)列{a_n}中的a₁，a₄₀₂₇是函數(shù)f（x）=x³-2x²-x+1的兩個(gè)極值點(diǎn)，則函數(shù)y=sin（a₂₀₁₄x+

π

6

）是周期為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與函數(shù)的綜合,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用極值點(diǎn)以及等差數(shù)列的性質(zhì)求出a₂₀₁₄的值，然后通過(guò)函數(shù)的周期求解即可．

解答： 解：函數(shù)f（x）=x³-2x²-x+1，導(dǎo)數(shù)f′（x）=3x²-4x-1，
∵a₁，a₄₀₂₇是函數(shù)f（x）=x³-2x²-x+1的兩個(gè)極值點(diǎn)，
∴a₁，a₄₀₂₇是3x²-4x-1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
則

4

3

=a₁+a₄₀₂₇=2a₂₀₁₄，∴a₂₀₁₄=

2

3

，
函數(shù)y=sin（a₂₀₁₄x+

π

6

）=sin（

2

3

x+

π

6

），
所以函數(shù)的周期為：T=

2π

2 3

=3π．
故答案為：3π．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的極值的求法，等差數(shù)列的應(yīng)用，三角函數(shù)的周期的求法，是難度不大的綜合題目．