Question

已知等比數(shù)列滿足：，公比，數(shù)列的前項和為，且.
（1）求數(shù)列和數(shù)列的通項和；
（2）設(shè)，證明：.

Answer 1

（1），；（2）詳見解析.

試題分析：（1）利用等比數(shù)列的通項公式求出數(shù)列的通項公式，然后先令求出的值，然后在的前提下，由得到，解法一是利用構(gòu)造法得到
，構(gòu)造數(shù)列為等比數(shù)列，求出該數(shù)列的通項公式，從而得出的通項公式；解法二是在的基礎(chǔ)上得到，兩邊同除以得到， 利用累加法得到數(shù)列的通項公式，從而得到數(shù)列的通項公式；（2）利用放縮法得到
，從而證明，或者利用不等式的性質(zhì)得到
，從而證明.
（1）解法一：由，得，，
由上式結(jié)合得，
則當(dāng)時，，
，
，
，，
數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，
 ，；
解法二：由，得，，
由上式結(jié)合得，
則當(dāng)時，，
，
，
，
，，
；
（2）由得，
，
或
.