Question

已知函數(shù)f（x）=1-ax，g（x）=x-

2

x+1

，若?x₁∈[1，2]，總?x₂∈[0，1]使f（x₁）=g（x₂），求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：設(shè)出f（x）和g（x）的值域，然后分類求出函數(shù)f（x）的值域，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)g（x）的值域，把函數(shù)f（x）=1-ax，g（x）=x-

2

x+1

，若?x₁∈[1，2]，總?x₂∈[0，1]使f（x₁）=g（x₂）轉(zhuǎn)化為A⊆B．然后由集合端點值間的關(guān)系列不等式組求解實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：設(shè)f（x）的值域為A，函數(shù)g（x）的值域為B，
要使函數(shù)f（x）=1-ax，g（x）=x-

2

x+1

，若?x₁∈[1，2]，總?x₂∈[0，1]使f（x₁）=g（x₂），
則A⊆B．
由g（x）=x-

2

x+1

，得f′(x)=1+

1

(x+1)2

，函數(shù)g（x）在[0，1]上為增函數(shù)，
∴g（x）∈[-2，0]，即B=[-2，0]．
當(dāng)a＞0時，函數(shù)f（x）=1-ax在[1，2]上為減函數(shù)，值域為[1-2a，1-a]，即A=[1-2a，1-a]，
由[1-2a，1-a]⊆[-2，0]，得

1-2a≥-2 1-a≤0

，解得：1≤a≤

3

2

；
當(dāng)a=0時，A={1}，不滿足A⊆B；
當(dāng)a＜0時，函數(shù)f（x）=1-ax在[1，2]上為增函數(shù)，值域為[1-a，1-2a]，即A=[1-a，1-2a]，
由[1-a，1-2a]⊆[-2，0]，得

1-a≥-2 1-2a≤0

，解得：

1

2

≤a≤3，又a＜0，∴a∈∅．
綜上，實數(shù)a的取值范圍是[1，

3

2

]．

點評：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用，考查了函數(shù)值域的求法，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，關(guān)鍵是對題意的理解，是中檔題．