Question

已知函數f（x）=1-ax，g（x）=x-

2

x+1

，若?x₁∈[1，2]，總?x₂∈[0，1]使f（x₁）=g（x₂），求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數的值域

專題：函數的性質及應用

分析：設出f（x）和g（x）的值域，然后分類求出函數f（x）的值域，利用導數求出函數g（x）的值域，把函數f（x）=1-ax，g（x）=x-

2

x+1

，若?x₁∈[1，2]，總?x₂∈[0，1]使f（x₁）=g（x₂）轉化為A⊆B．然后由集合端點值間的關系列不等式組求解實數a的取值范圍．

解答： 解：設f（x）的值域為A，函數g（x）的值域為B，
要使函數f（x）=1-ax，g（x）=x-

2

x+1

，若?x₁∈[1，2]，總?x₂∈[0，1]使f（x₁）=g（x₂），
則A⊆B．
由g（x）=x-

2

x+1

，得f′(x)=1+

1

(x+1)2

，函數g（x）在[0，1]上為增函數，
∴g（x）∈[-2，0]，即B=[-2，0]．
當a＞0時，函數f（x）=1-ax在[1，2]上為減函數，值域為[1-2a，1-a]，即A=[1-2a，1-a]，
由[1-2a，1-a]⊆[-2，0]，得

1-2a≥-2 1-a≤0

，解得：1≤a≤

3

2

；
當a=0時，A={1}，不滿足A⊆B；
當a＜0時，函數f（x）=1-ax在[1，2]上為增函數，值域為[1-a，1-2a]，即A=[1-a，1-2a]，
由[1-a，1-2a]⊆[-2，0]，得

1-a≥-2 1-2a≤0

，解得：

1

2

≤a≤3，又a＜0，∴a∈∅．
綜上，實數a的取值范圍是[1，

3

2

]．

點評：本題考查了函數的性質及其應用，考查了函數值域的求法，考查了數學轉化思想方法，關鍵是對題意的理解，是中檔題．