Question

6．已知x＞2y＞0，且滿足$\frac{x}{2}+\frac{1}{y}+\frac{8}{x-2y}$=10．則實數(shù)x的最大值為18．

Answer 1

分析 由條件可得$\frac{2}{2y}$+$\frac{8}{x-2y}$=10-$\frac{1}{2}$x，即有[2y+（x-2y）]（$\frac{2}{2y}$+$\frac{8}{x-2y}$）=（10-$\frac{1}{2}$x）x，將等式左邊展開，運用基本不等式可得x的二次不等式，解不等式可得x的最大值．

解答 解：x＞2y＞0，且滿足$\frac{x}{2}+\frac{1}{y}+\frac{8}{x-2y}$=10，
可得$\frac{2}{2y}$+$\frac{8}{x-2y}$=10-$\frac{1}{2}$x，
即有[2y+（x-2y）]（$\frac{2}{2y}$+$\frac{8}{x-2y}$）=（10-$\frac{1}{2}$x）x，
可得10+$\frac{2（x-2y）}{2y}$+$\frac{16y}{x-2y}$=（10-$\frac{1}{2}$x）x≥10+2$\sqrt{\frac{2（x-2y）}{2y}•\frac{16y}{x-2y}}$=18，
當且僅當x-2y=4y，即x=6y，取得等號．
即有x²-20x+36≤0，
解得2≤x≤18．
可得x的最大值18．
故答案為：18．

點評 本題考查最值的求法，注意運用變形和基本不等式，考查轉(zhuǎn)化思想，轉(zhuǎn)化為x的二次不等式，考查運算能力，屬于中檔題．