【題目】已知f(x)是定義在[﹣1,1]上的奇函數(shù),且f(1)=1,若m,n∈[﹣1,1],m+n≠0時(shí),有 >0.
(Ⅰ)證明f(x)在[﹣1,1]上是增函數(shù);
(Ⅱ)解不等式f(x2﹣1)+f(3﹣3x)<0
(Ⅲ)若f(x)≤t2﹣2at+1對(duì)x∈[﹣1,1],a∈[﹣1,1]恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.
【答案】解:(Ⅰ)任取﹣1≤x1<x2≤1,
則 ,
∵﹣1≤x1<x2≤1,∴x1+(﹣x2)≠0,
由已知 ,
∴f(x1)﹣f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),
∴f(x)在[﹣1,1]上是增函數(shù);
(Ⅱ)∵f(x)是定義在[﹣1,1]上的奇函數(shù),且在[﹣1,1]上是增函數(shù),
∴不等式化為f(x2﹣1)<f(3x﹣3),
∴ ,解得 ;
(Ⅲ)由(Ⅰ)知f(x)在[﹣1,1]上是增函數(shù),
∴f(x)在[﹣1,1]上的最大值為f(1)=1,
要使f(x)≤t2﹣2at+1對(duì)x∈[﹣1,1]恒成立,只要t2﹣2at+1≥1t2﹣2at≥0,
設(shè)g(a)=t2﹣2at,對(duì)a∈[﹣1,1],g(a)≥0恒成立,
∴ ,
∴t≥2或t≤﹣2或t=0
【解析】(Ⅰ)任取﹣1≤x1<x2≤1,則 ,由已知 ,可比較f(x1)與f(x2)的大小,由單調(diào)性的定義可作出判斷;(Ⅱ)利用函數(shù)的奇偶性可把不等式化為f(x2﹣1)<f(3x﹣3),在由單調(diào)性得x2﹣1<3x﹣3,還要考慮定義域;(Ⅲ)要使f(x)≤t2﹣2at+1對(duì)x∈[﹣1,1]恒成立,只要f(x)max≤t2﹣2at+1,由f(x)在[﹣1,1]上是增函數(shù)易求f(x)max , 再利用關(guān)于a的一次函數(shù)性質(zhì)可得不等式組,保證對(duì)a∈[﹣1,1]恒成立;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是平行四邊形,且AB=1,BC=2,∠ABC=60°,E為BC的中點(diǎn),AA1⊥平面ABCD. (Ⅰ)證明:平面A1AE⊥平面A1DE;
(Ⅱ)若DE=A1E,試求二面角E﹣A1C﹣D的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知不交于同一點(diǎn)的三條直線l1:4x+y﹣4=0,l2:mx+y=0,l3:x﹣my﹣4=0
(1)當(dāng)這三條直線不能?chē)扇切螘r(shí),求實(shí)數(shù)m的值.
(2)當(dāng)l3與l1 , l2都垂直時(shí),求兩垂足間的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)y=f(x)和y=g(x)在[﹣2,2]上的圖象如圖所示.給出下列四個(gè)命題:
①方程f[g(x)]=0有且僅有6個(gè)根;
②方程g[f(x)]=0有且僅有3個(gè)根;
③方程f[f(x)]=0有且僅有5個(gè)根;
④方程g[g(x)]=0有且僅有4個(gè)根.
其中正確的命題的個(gè)數(shù)為( )
A.1
B.2
C.3
D.4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ax2+2x﹣2﹣a(a≤0),
(1)若a=﹣1,求函數(shù)的零點(diǎn);
(2)若函數(shù)在區(qū)間(0,1]上恰有一個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】對(duì)于函數(shù)f(x),若a,b,c∈R,f(a),f(b),f(c)為某一三角形的三邊長(zhǎng),則稱f(x)為“可構(gòu)造三角形函數(shù)”,已知函數(shù)f(x)= 是“可構(gòu)造三角形函數(shù)”,則實(shí)數(shù)t的取值范圍是( )
A.[0,+∞)
B.[0,1]
C.[1,2]
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,PC⊥底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,AB⊥AD,AB∥CD,AB=2AD=2CD=2,E是PB的中點(diǎn).
(1)求證:CE∥平面PAD;
(2)若二面角P﹣AC﹣E的余弦值為 ,求直線PA與平面EAC所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,平行四邊形中, , , , , 分別為, 的中點(diǎn),
平面.
(1)求證: 平面;
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)點(diǎn)是軸上的一個(gè)定點(diǎn),其橫坐標(biāo)為(),已知當(dāng)時(shí),動(dòng)圓過(guò)點(diǎn)且與直線相切,記動(dòng)圓的圓心的軌跡為.
(Ⅰ)求曲線的方程;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),若直線與曲線相切于點(diǎn)(),且與以定點(diǎn)為圓心的動(dòng)圓也相切,當(dāng)動(dòng)圓的面積最小時(shí),證明: 、兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差為定值.
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