Question

設函數f（x）=ax³-3x+1（x∈R），若對于任意x∈[-1，1]，都有f（x）≥0成立，則實數a的值為（　�。�

• A、0
• B、2
• C、4
• D、1

Answer 1

考點：利用導數求閉區(qū)間上函數的最值

專題：導數的綜合應用

分析：首先由f（x）=ax³-3x+1，可得f′（x）=3ax²-3，（1）當a≤0時，3ax²-3＜0，函數f（x）是減函數，f（x）_min=f（1）=a-2≥0，解得a≥2，與已知矛盾；（2）當a＞0時，令f′（x）=0，可得x=±

a

a

，根據對于任意x∈[-1，1]，都有f（x）≥0成立，分類討論，求出a的取值范圍即可．

解答： 解：由f（x）=ax³-3x+1，
可得f′（x）=3ax²-3，
（1）當a≤0時，3ax²-3＜0，
函數f（x）是減函數，
f（x）_min=f（1）=a-2≥0，
解得a≥2，與已知矛盾；
（2）當a＞0時，令f′（x）=0，可得x=±

a

a

，
①當x＜-

a

a

時，f′（x）＞0，f（x）為遞增函數，
②當-

a

a

＜x＜

a

a

時，f′（x）＜0，f（x）為遞減函數，
③當x＞

a

a

時，f（x）為遞增函數；
所以f（

a

a

）≥0，f（-1）≥0，且f（1）≥0，
由f（

a

a

）≥0，解得a≥4，
由f（-1）≥0，解得a≤4，
由f（1）≥0解得2≤a≤4，
綜上，可得a=4．
故選：C．

點評：此題主要考查了利用導數求閉區(qū)間上函數的最值問題，考查了分類討論思想的應用，屬于中檔題．