已知正四棱錐的底面邊長是a,側棱長是a.

(1)求它的外接球的體積;

(2)求它的內切球的表面積.

解:如圖,(1)設外接球的半徑為R,球心為O,則OA=OC=OS,所以O為△SAC的外心,即△SAC的外接圓半徑就是球的半徑.

∵AB=BC=a,∴AC=a.∵SA=SC=AC=a,

∴△SAC為正三角形.

由正弦定理得2R=a.

因此R=a,V=πR3=πa3.

(2)設內切球的半徑為r,作SE⊥底面于E,作SF⊥BC于F,則有SF=a,

S△SBC=BC·SF=a=a2,

S棱錐全=4S△SBC+S=(+1)a2.

又SE=a,

∴V棱錐=S·h=a2·a=a3.

∴r=a.

S=4πr2=πa2.


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