Question

如圖，橢圓 (a>b>0)的上、下頂點(diǎn)分別為A、B，已知點(diǎn)B在直線l：上，且橢圓的離心率e =．

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)P是橢圓上異于A、B的任意一點(diǎn)，PQ⊥y軸，Q為垂足，M為線段PQ中點(diǎn)，直線AM交直線l于點(diǎn)C，N為線段BC的中點(diǎn)，求證：OM⊥MN．

 

Answer 1

（1）；（2）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)橢圓的性質(zhì)，建立方程，即可求得；（2）可以設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)，然后用點(diǎn)P的坐標(biāo)表示M、N的坐標(biāo)，進(jìn)而可以表示、，然后說明即可.

試題解析：（1）依題意，得． ∵，，∴．

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（2）證明：設(shè)，，則，且．∵為線段中點(diǎn)， ∴． 又，∴直線的方程為．令，得． 又，為線段的中點(diǎn)，∴．

當(dāng)時(shí)，，

此時(shí)，

∴，不存在，∴．

當(dāng)時(shí)，，

，

∵，∴

綜上得.

考點(diǎn)：(1)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）兩條直線垂直的條件.