已知,x∈R,函數(shù)f(x)=sin2(x+α)+sin2(x-α)-sin2x.
(1)求函數(shù)f(x)的奇偶性;
(2)是否存在常數(shù)α,使得對任意實數(shù)x,恒成立;如果存在,求出所有這樣的α;如果不存在,請說明理由.
【答案】分析:解法一:(1)利用奇偶性的定義即可判斷出;
(2)對等式展開化簡即可得出.
解法二:先利用倍角公式進行化簡再利用上述解法一即可.
解答:解法一:(1)定義域是x∈R,
∵f(-x)=sin2(-x-α)+sin2(-x+α)-sin2(-x)=sin2(x+α)+sin2(x-α)-sin2x=f(x),
∴函數(shù)f(x)是偶函數(shù).
(2)∵,∴sin2(x+α)+sin2(x-α)-sin2x=cos2(x-α)+cos2(x+α)-cos2x,
移項得:cos(2x-2α)+cos(2x+2α)-cos2x=0,
展開得:cos2x(2cos2α-1)=0,
對于任意實數(shù)x上式恒成立,只有
∵0<2α<π,∴
解法二:=
(1)定義域是x∈R,
,
∴該函數(shù)在定義域內是偶函數(shù).
(2)由恒成立,
,

化簡可得:cos2x(2cos2α-1)=0對于任意實數(shù)x上式恒成立,
只有,
∵0<2α<π,∴
點評:熟練掌握三角函數(shù)的倍角公式、函數(shù)的奇偶性的判斷方法事件他的關鍵.本題需要較強的計算能力.
練習冊系列答案
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是奇函數(shù).
(1)求a,b的值;
(2)利用定義判斷函數(shù)y=f(x)的單調性;
(3)若對任意t∈[0,1],不等式f(2t2+kt)+f(k-t2)>0恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.

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[  ]

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B.f(2)<f(3)<f(1)

C.f(3)<f(2)<f(1)

D.f(3)<f(1)<f(2)

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已知數(shù)學公式,x∈R,函數(shù)f(x)=sin2(x+α)+sin2(x-α)-sin2x.
(1)求函數(shù)f(x)的奇偶性;
(2)是否存在常數(shù)α,使得對任意實數(shù)x,數(shù)學公式恒成立;如果存在,求出所有這樣的α;如果不存在,請說明理由.

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