已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1中的底面是菱形，且∠DAB=∠A1AB=∠A1AD=60°，AD=1，AA1=a，F(xiàn)為棱BB的中點(diǎn)，M為線(xiàn)段AC的中點(diǎn)．設(shè)
AB
=
e1
，
AD
=
e2
，
AA1
=
e3
．試用向量法解下列問(wèn)題：
（1）求證：直線(xiàn)MF∥平面ABCD；
（2）求證：直線(xiàn)MF⊥面A1ACC1；
（3）是否存在a，使平面AFC1與平面ABCD所成二面角的平面角是30°？如果存在，求出相應(yīng)的a 值，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（提示：可設(shè)出兩面的交線(xiàn)）
分析：（1）由：|
e1
|=|
e2
|=1，|
e3
|=a，
e 1
•
e2
=
1
2
，
e1
•
e3
=
e2
•
e3
=
1
2
a，
e1
e3
=
e2
e3
=
1
2
a，
AC1
=
e1
+
e2
+
e3
，
AM
=
1
2
（
e1
+
e2
+
e3
），
AF
=
AB
+
BF
=
AB
+
1
2
AA1
=
e1
+
1
2
e3
，
MF
=
AF
-
AM
=
1
2
（
e1
-
e2
），
DB
=
AB
-
AD
=
e1
-
e2
=2
MF
，由此能證明直線(xiàn)MF∥平面ABCD．
（2）由
MF
•
AA1
=（
e1
-
e2
）•
1
2
e3
=0，
MF
•
AC
=（
e1
-
e2
）（
e1
+
e2
+
e3
）•
1
2
=0，知MF⊥AA1，MF⊥AC，AC和AA1是面ABCD內(nèi)的相交直線(xiàn)，由此能證明直線(xiàn)MF⊥面A1ACC1．
（3）設(shè)平面AFC1與平面ABCD的交線(xiàn)為c，兩平面有一個(gè)公共點(diǎn)A，故A在直線(xiàn)c上；MF在面AFC1內(nèi)，直線(xiàn)MF∥平面ABCD，有MF∥直線(xiàn)c，由直線(xiàn)MF⊥面A1ACC1，直線(xiàn)AC和直線(xiàn)AC1在平面A1ACC1內(nèi)，知平面AFC1與平面ABCD所成二面角的平面角是∠C1AC由此能推導(dǎo)出不存在這樣的a值，使平面AFC1與平面ABCD所成二面角的平面角是30°．
解答：（1）證明：|
e1
|=|
e2
|=1，
|
e3
|=a，
e 1
•
e2
=
1
2
，
e1
•
e3
=
e2
•
e3
=
1
2
a，（2分）
AC1
=
e1
+
e2
+
e3
，
AM
=
1
2
（
e1
+
e2
+
e3
），
AF
=
AB
+
BF
=
AB
+
1
2
AA1
=
e1
+
1
2
e3
，
MF
=
AF
-
AM
=
1
2
（
e1
-
e2
），（3分）
DB
=
AB
-
AD
=
e1
-
e2
=2
MF
，
DB在面ABCD內(nèi)，MF在面ABCD外，
∴直線(xiàn)MF∥平面ABCD；（4分）
（2）證明：
MF
•
AA1
=（
e1
-
e2
）•
1
2
e3
=0，（5分）
MF
•
AC
=（
e1
-
e2
）•（
e1
+
e2
+
e3
）•
1
2
=0，（6分）
∴MF⊥AA1，MF⊥AC，AC和AA1是面ABCD內(nèi)的相交直線(xiàn)，
∴直線(xiàn)MF⊥面A1ACC1；（7分）
（3）解：設(shè)平面AFC1與平面ABCD的交線(xiàn)為c，兩平面有一個(gè)公共點(diǎn)A，
∴A在直線(xiàn)c上；MF在面AFC1內(nèi)，直線(xiàn)MF∥平面ABCD，有MF∥直線(xiàn)c，
由2）知，直線(xiàn)MF⊥面A1ACC1，直線(xiàn)AC和直線(xiàn)AC1在平面A1ACC1內(nèi)，
∴MF⊥AC1，MF⊥AC，因此，有AC1⊥直線(xiàn)c，AC⊥直線(xiàn)c，
平面AFC1與平面ABCD所成二面角的平面角是∠C1AC，（10分）
假設(shè)存在這樣的a，使∠C1AC=30°，
則cos30°=cos＜
AC 1
，
AC
＞
=
AC1
•

				練習(xí)冊(cè)系列答案
		




			
			
			
		
	

		

		





			
		
		
				
		
				
		

              
                

                  年級(jí)
                  高中課程
                  年級(jí)
                  初中課程
                

                

                  高一
                  高一免費(fèi)課程推薦！
                  初一
                  初一免費(fèi)課程推薦！
                

               
                

                  高二
                  高二免費(fèi)課程推薦！
                  初二
                  初二免費(fèi)課程推薦！
                

               
                

                  高三
                  高三免費(fèi)課程推薦！ 
                  初三
                  初三免費(fèi)課程推薦！
                

               
                

                  
                

              
            

			

					

				相關(guān)習(xí)題
			

						
		

			

				科目：高中數(shù)學(xué)
				來(lái)源：
				題型：
			


						
已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABCD，AA1=2，底面四邊形ABCD的邊長(zhǎng)均大于2，且∠DAB=45°，點(diǎn)P在底面ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)且在AB，AD上的射影分別為M，N，若|PA|=2，則三棱錐P-D1MN體積的最大值為（　�。�


			


			

			查看答案和解析>>		

				
		

			

				科目：高中數(shù)學(xué)
				來(lái)源：
				題型：
			


						
已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)棱垂直底邊ABCD四棱柱，AA1=2，E是側(cè)棱AA1的中點(diǎn)，求
（1）求異面直線(xiàn)BD與B1E所成角的大�。�
（2）求四面體AB1D1C的體積．


			


			

			查看答案和解析>>		

				
		

			

				科目：高中數(shù)學(xué)
				來(lái)源：
				題型：
			


						
（2012•江門(mén)一模）如圖，已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的俯視圖是邊長(zhǎng)為3的正方形，側(cè)視圖是長(zhǎng)為3寬為
3
的矩形．
（1）求該四棱柱的體積；
（2）取DD1的中點(diǎn)E，證明：面BCE⊥面ADD1A1．


			


			

			查看答案和解析>>		

				
		

			

				科目：高中數(shù)學(xué)
				來(lái)源：
				題型：
			


						
精英家教網(wǎng)如圖，已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是矩形，AB=4，AA1=3，∠BAA1=60°，E為棱C1D1的中點(diǎn)，則
AB
•
AE
=
 
．


			


			

			查看答案和解析>>		

			
	

		



同步練習(xí)冊(cè)答案





























			





	







<tfoot id="mm0i2"></tfoot>
    •