已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,側棱AA1⊥底面ABCD,AA1=2,底面四邊形ABCD的邊長均大于2,且∠DAB=45°,點P在底面ABCD內(nèi)運動且在AB,AD上的射影分別為M,N,若|PA|=2,則三棱錐P-D1MN體積的最大值為( 。
分析:畫出四棱柱圖形,設∠NAP=θ,求出PN,PM,得△PMN的面積,然后求出三棱錐P-D1MN的體積表達式,得最大值.
解答:解:由題意畫出四棱柱ABCD-A1B1C1D1如圖:
在底面四邊形ABCD中,設∠NAP=θ,θ∈[0,45°],則∠PAM=45°-θ,
所以PN=|PA|sinθ=2sinθ,PM=|PA|sin(45°-θ)=2sin(45°-θ),
所以SPMN=
1
2
PN•PMsin135°=
1
2
×2sinθ×2sin(45°-θ)×
2
2
=
2
sinθsin(45°-°θ),
∴三棱錐P-D1MN的體積為,
V三棱錐P-D1MN
1
3
Sh=
1
3
×SPMN×DD1=
1
3
×
2
sinθsin(45°-θ)×2=
1
3
×2(sinθcosθ-sin2θ)=
1
3
×(sin2θ+cos2θ-1)=
2
3
×sin(2θ+45°)-
1
3

因為θ∈[0,45°],所以當θ=22.5°時V三棱錐P-D1MN取得最大值為:
2
3
-
1
3

故選:A.
點評:本題考查了空間中的位置關系以及錐體體積的計算問題,是基礎題.
練習冊系列答案
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AB
=
e1
,
AD
=
e2
,
AA1
=
e3
.試用向量法解下列問題:
(1)求證:直線MF∥平面ABCD;
(2)求證:直線MF⊥面A1ACC1;
(3)是否存在a,使平面AFC1與平面ABCD所成二面角的平面角是30°?如果存在,求出相應的a 值,如果不存在,請說明理由.(提示:可設出兩面的交線)

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3
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AB
AE
=
 

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