Question

9．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的中心在原點，右頂點為A（2，0），其離心率與雙曲線$\frac{y^2}{3}-{x^2}=1$的離心率互為倒數(shù)
（1）求橢圓的方程；
（2）已知M，N是橢圓C上的點，O為原點，直線OM與ON的斜率之積為$-\frac{1}{4}$，若動點P（x₀，y₀）滿足$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OM}+3\overrightarrow{ON}$，求證：${x_0}^2+4{y_0}^2$為定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由雙曲線的離心率為$\frac{2}{\sqrt{3}}$，所以橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，又右頂點為（2，0），即a=2，c=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$，即可得出．
（Ⅱ）設M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），可得${x}_{1}^{2}+4{y}_{1}^{2}$=4，${x}_{2}^{2}+4{y}_{2}^{2}$=4．由直線OM與ON的斜率之積為$-\frac{1}{4}$，可得$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}•\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=-$\frac{1}{4}$，化為：x₁x₂+4y₁y₂=0，由動點P（x₀，y₀）滿足$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OM}+3\overrightarrow{ON}$，可得x₀=x₁+3x₂，y₀=y₁+3y₂．
代入化簡即可得出．

解答 （Ⅰ）解：∵雙曲線的離心率為$\frac{2}{\sqrt{3}}$，所以橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又∵右頂點為（2，0），即a=2，c=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，
∴橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
（Ⅱ）證明：設M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），
∴${x}_{1}^{2}+4{y}_{1}^{2}$=4，${x}_{2}^{2}+4{y}_{2}^{2}$=4．
∵直線OM與ON的斜率之積為$-\frac{1}{4}$，∴$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}•\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=-$\frac{1}{4}$，化為：x₁x₂+4y₁y₂=0，
∵動點P（x₀，y₀）滿足$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OM}+3\overrightarrow{ON}$，
∴x₀=x₁+3x₂，y₀=y₁+3y₂．
∴${x_0}^2+4{y_0}^2$=$（{x}_{1}+3{x}_{2}）^{2}$+4$（{y}_{1}+3{y}_{2}）^{2}$
=${x}_{1}^{2}+4{y}_{1}^{2}$+$9（{x}_{2}^{2}+4{y}_{2}^{2}）$+6（x₁x₂+4y₁y₂）=4+9×4+6×0=40為定值．

點評 本題考查了橢圓與雙曲線的標準方程及其性質、點與橢圓的關系、斜率計算公式、斜率坐標運算性質，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．