Question

設(shè)a為實數(shù)，在復(fù)數(shù)集C中解方程：z²+2|z|=a．

Answer 1

分析：由于z²=a-2|z|為實數(shù)，故z為純虛數(shù)或?qū)崝?shù)，因而需分情況進(jìn)行討論．當(dāng)z是實數(shù)時，本題是一個關(guān)于z的一元二次方程組，解方程組即可；當(dāng)z是一個純虛數(shù)時，按照實數(shù)方程求解得到z的虛部，寫出純虛數(shù)即可．

解答：解：設(shè)|z|=r．若a＜0，則z²=a-2|z|＜0，于是z為純虛數(shù)，從而r²=2r-a．
由于z²=a-2|z|為實數(shù)，故z為純虛數(shù)或?qū)崝?shù)，因而需分情況進(jìn)行討論．
解得r=1+

1-a

（r=1-

1-a

＜0，不合，舍去）．故z=±（1+

1-a

）i．
若a≥0，對r作如下討論：
（1）若r≤

1

2

a，則z²=a-2|z|≥0，于是z為實數(shù)．
解方程r²=a-2r，得r=-1+

1+a

（r=-1-

1+a

＜0，不合，舍去）．
故z=±（-1+

1+a

）．
（2）若r＞

1

2

a，則z²=a-2|z|＜0，于是z為純虛數(shù)．
解方程r²=2r-a，得r=1+

1-a

或r=1-

1-a

（a≤1）．
故z=±（1±

1-a

）i（a≤1）．
綜上所述，原方程的解的情況如下：
當(dāng)a＜0時，解為：z=±（1+

1-a

）i；
當(dāng)0≤a≤1時，解為：z=±（-1+

1+a

），z=±（1±

1-a

）i；
當(dāng)a＞1時，解為：z=±（-1+

1+a

）．

點評：本題還可以令z=x+yi（x、y∈R）代入原方程后，由復(fù)數(shù)相等的條件將復(fù)數(shù)方程化歸為關(guān)于x，y的實系數(shù)的二元方程組來求解．