Question

設a為實數(shù)，在復數(shù)集C中解方程：z²+2|z|=a．

Answer 1

設|z|=r．若a＜0，則z²=a-2|z|＜0，于是z為純虛數(shù)，從而r²=2r-a．
由于z²=a-2|z|為實數(shù)，故z為純虛數(shù)或實數(shù)，因而需分情況進行討論．
解得r=1+

1-a

（r=1-

1-a

＜0，不合，舍去）．故z=±（1+

1-a

）i．
若a≥0，對r作如下討論：
（1）若r≤

1

2

a，則z²=a-2|z|≥0，于是z為實數(shù)．
解方程r²=a-2r，得r=-1+

1+a

（r=-1-

1+a

＜0，不合，舍去）．
故z=±（-1+

1+a

）．
（2）若r＞

1

2

a，則z²=a-2|z|＜0，于是z為純虛數(shù)．
解方程r²=2r-a，得r=1+

1-a

或r=1-

1-a

（a≤1）．
故z=±（1±

1-a

）i（a≤1）．
綜上所述，原方程的解的情況如下：
當a＜0時，解為：z=±（1+

1-a

）i；
當0≤a≤1時，解為：z=±（-1+

1+a

），z=±（1±

1-a

）i；
當a＞1時，解為：z=±（-1+

1+a

）．