Question

【題目】數(shù)列對于確定的正整數(shù)，若存在正整數(shù)使得成立，則稱數(shù)列為“階可分拆數(shù)列”.

（1）設(shè) 是首項為2，公差為2的等差數(shù)列，證明為“3階可分拆數(shù)列”；

（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，若數(shù)列為“階可分拆數(shù)列”，求實數(shù)的值；

（3）設(shè)，試探求是否存在使得若數(shù)列為“階可分拆數(shù)列”．若存在，請求出所有，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）或3.

【解析】試題分析：

(1)利用題中所給的新定義內(nèi)容結(jié)合等差數(shù)列的通項公式即可證得結(jié)論；

(2)由題意整理計算可得；

(3)假設(shè)實數(shù)m存在，討論可得或3.

試題解析：

（1）由題意可知

，所以

所以為“3階可分拆數(shù)列”；

因為數(shù)列的前項和為

當時，；當時，

所以

因為存在正整數(shù)得成立

當時即

因為，

所以，而所以不存在正整數(shù)（）使得成立

當時，得

所以時存在正整數(shù)使得成立

由得.

假設(shè)存在使得若數(shù)列為“階可分拆數(shù)列”

即存在確定的正整數(shù)，存在正整數(shù)使得成立

當時，，時方程成立

當時

當時；當時

當時，所以不存在正整數(shù)使得成立

當時，當時成立

④當時

所以不存在正整數(shù)使得成立

綜上：或3.