Question

【題目】已知直線l：，半徑為4的圓C與直線l相切，圓心C在x軸上且在直線l的右上方.

（Ⅰ）求圓C的方程；

（Ⅱ）過點(diǎn)M (2，0)的直線與圓C交于A，B兩點(diǎn)(A在x軸上方)，問在x軸正半軸上是否存在定點(diǎn)N，使得x軸平分∠ANB？若存在，請求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）x2＋y2＝16.（Ⅱ）存在點(diǎn)N為(8，0)時(shí)，能使得∠ANM＝∠BNM總成立.

【解析】分析：（Ⅰ）根據(jù)已知求得a＝0，可以求出圓C的方程. （Ⅱ）分AB有斜率和沒有斜率兩種情況討論，當(dāng)AB有斜率時(shí)，x軸平分∠ANB， 則kAN＝－kBN ，即可求出t的值.

詳解：（Ⅰ）設(shè)圓心C(a，0) ()，

則a＝0或a＝ (舍).

所以圓C的方程為x2＋y2＝16.

（Ⅱ）當(dāng)直線AB⊥x軸時(shí)，x軸平分∠ANB.

當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y＝k(x－2)，

假設(shè)N(t，0) 符合題意，又設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由得(k2＋1)x2－4k2x＋4k2－16＝0，

所以x1＋x2＝，x1x2＝.

若x軸平分∠ANB， 則kAN＝－kBN

即＋＝0＋＝0

2x1x2－(t＋2)(x1＋x2)＋4t＝0

－＋4t＝0t＝8.

所以存在點(diǎn)N為(8，0)時(shí)，能使得∠ANM＝∠BNM總成立.