Question

已知：如圖所示的多面體是由底面為ABCD的長方體被截面AEGF所截得的，其中AB=4，BC=2，CG=3，BE=1，
（1）求：BF與平面BCGE所成角的正切值
（2）求：截面AEGF與平面ABCD所成的二面角的余弦值
（3）在線段CG上是否存在一點M，使得M在平面AEGF上的射影恰為△EGF的重心．

Answer 1

分析：（1）可以建立空間坐標系，設出F點的坐標，根據(jù)截面AEFG為平行四邊形，

AF

=

EG

，得到F點的坐標；利用

BF

與平面BCGE的法向量夾角求解．
（2）分別求出平面AEGF及平面FABCD的法向量，代入向量夾角公式，即可得到二面角E-FC₁-C的余弦值．
（3）設M在平面AEGF的射影為H，

GM

AG

=

GH

GC

∴GM=

29

9

＞3．故不存在．

解答：解：（1）建立如圖所示的空間直角坐標系，

則D（0，0，0），B（2，4，0）A（2，0，0），C（0，4，0），E（2，4，1），G（0，4，3）設F（0，0，z）．
∵AEGF為平行四邊形，
∴

AF

=

EG

，
即（-2，0，z）=（-2，0，2），∴z=2．
∴F（0，0，2）．
∴

EF

=（-2，-4，2）．于是|

BF

|=2

6

，即BF的長為2

6

.

BF

=（-2，-4，2），
易知平面BCGE的一個法向量為

m

=（0，1，0），|cos＜

BF，

m

＞|=

4

2 5 ×1

=

2 5

5

=sinθ
cosθ=

5

5

∴BF與平面BCGE所成角的正切值為tanθ=2．
 （2）設

n1

為平面AEGF的法向量且

n1

=（x，y，z）
由

n1 • AE =0 n1 • AF =0

得

0×x+4×y+z=0 -2×x+0×y+2z=0

即

4y+z=0 -2x+2z=0

令z=1∴

x=1 y=- 1 4

，

n1

=(1，-

1

4

，1)，易知平面ABCD的法向量

n2

=（0，0，1）
設截面AEGF與平面ABCD所成的二面角為α，則|cosα|=|

n1 • n2

| n1|| n2|

|=

4

33

（2）截面AEGF與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值

4

33

．
（3）不存在，在△AGC中，設M在平面AEGF的射影為H，
∵

GM

AG

=

GH

GC

∴GM=

29

9

＞3．故不存在．

點評：本題主要考查線線角，二面角空間角的計算．利用空間向量知識方法求解，思路穩(wěn)定，使問題論證與計算變成了代數(shù)運算，使人們解決問題更加方便．