Question

6．若直線$\frac{x}{a}$+$\frac{y}$=1（a＞0，b＞0）過點(diǎn)（2，1），則3a+b的最小值為7+2$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 由直線過點(diǎn)可得正數(shù)ab滿足$\frac{2}{a}+\frac{1}$=1，整體代入可得3a+b=（3a+b）（$\frac{2}{a}+\frac{1}$）=7+$\frac{2b}{a}$+$\frac{3a}$，由基本不等式可得．

解答 解：∵直線$\frac{x}{a}+\frac{y}=1（{a＞0，b＞0}）$過點(diǎn)（2，1），
∴$\frac{2}{a}+\frac{1}$=1，故3a+b=（3a+b）（$\frac{2}{a}+\frac{1}$）
=7+$\frac{2b}{a}$+$\frac{3a}$≥7+2$\sqrt{\frac{2b}{a}•\frac{3a}}$=7+2$\sqrt{6}$，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{2b}{a}$=$\frac{3a}$即$\sqrt{2}$b=$\sqrt{3}$a時(shí)取等號(hào)，
結(jié)合$\frac{2}{a}+\frac{1}$=1可解得a=$\frac{6+\sqrt{6}}{3}$且b=$\sqrt{6}$+1，
故答案為：7+2$\sqrt{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式求最值，整體代入并變形為可用基本不等式的形式是解決問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．