Question

15．如圖，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB∥DC，AA₁=1，AB：AD：BC：DC=3：4：5：6，側棱AA₁⊥底面ABCD．
（I）證明：平面DCC₁D₁⊥平面ADD₁A₁；
（ II）若直線AA₁與平面AB₁C所成的角的余弦值為$\frac{\sqrt{13}}{7}$，求AB．

Answer 1

分析 （I）過點B作BE∥AD，交DC于點E，證明：CD⊥平面ADD₁A₁，即可證明平面DCC₁D₁⊥平面ADD₁A₁；
（ II）以點D為原點，射線DA，DC，DD₁分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系D-xyz，求出平面AB₁C的法向量，利用直線AA₁與平面AB₁C所成的角的余弦值為$\frac{\sqrt{13}}{7}$，求AB．

解答 （ I）證明：過點B作BE∥AD，交DC于點E，
則ABED是平行四邊形，BE=AD=4k，DE=AB=3k…（2分）
在△BEC中，因為BC²=EC²+BE²，
所以BE⊥DC，AD⊥DC…（4分）
另一個方面，側棱AA₁⊥底面ABCD，所以AA₁⊥DC．
而AA₁∩AD=A，所以CD⊥平面ADD₁A₁，
故平面平面DCC₁D₁⊥平面ADD₁A₁…（6分）
（ II）解：以點D為原點，射線DA，DC，DD₁分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系D-xyz．
則B₁（4k，3k，1），C（0，6k，0），A（4k，0，0），
$\overrightarrow{AC}$=（-4k，6k，0），$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（0，3k，1）…（8分）
設平面AB₁C的法向量是$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），由$\left\{\begin{array}{l}{-4kx+6ky=0}\\{3ky+z=0}\end{array}\right.$得$\overrightarrow{m}$=（3，2，-6k）．
sinθ=|$\frac{6k}{\sqrt{13+36{k}^{2}}}$=$\frac{6}{7}$，∴k=1，
所以AB=3…（12分）

點評 本題考查線面、面面垂直的判定，考查線面角，考查向量方法的運用，屬于中檔題．