Question

6．若tanα-$\frac{1}{tanα}$=$\frac{3}{2}$，α∈（${\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}}$），則sin（2α+$\frac{π}{4}}$）的值為（　�。�

• A． $-\frac{{\sqrt{2}}}{5}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{5}$
• C． $-\frac{{\sqrt{2}}}{10}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{10}$

Answer 1

分析 由已知求得tanα，再由萬能公式求出sin2α，cos2α的值，展開兩角和的正弦即可．

解答 解：由tanα-$\frac{1}{tanα}=\frac{3}{2}$，得2tan²α-3tanα-2=0，即tanα=2或tanα=$-\frac{1}{2}$．
∵α∈（${\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}}$），∴tanα=2．
則sin2α=$\frac{2tanα}{1+ta{n}^{2}α}=\frac{2×2}{1+{2}^{2}}=\frac{4}{5}$，cos2α=$\frac{1-ta{n}^{2}α}{1+ta{n}^{2}α}=\frac{1-4}{1+4}=-\frac{3}{5}$．
∴sin（2α+$\frac{π}{4}$）=sin2αcos$\frac{π}{4}$+cos2αsin$\frac{π}{4}$=$\frac{4}{5}×\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{3}{5}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{10}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查同角三角函數(shù)關(guān)系，二倍角公式，考查兩角和的正弦公式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．