Question

12．已知函數(shù)f（x）=xsinx+cosx+a在區(qū)間（-π，π）上的極小值為0，極大值為b，求實數(shù)a，b值．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，由余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值，從而求出a，b的值．

解答 解：函數(shù)f（x）=xsinx+cosx+a，
f′（x）=sinx+xcosx-sinx=xcosx，
令f′（x）＞0，即有xcosx＞0，
即有 $\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{cosx＞0}\end{array}\right.$或 $\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{cosx＜0}\end{array}\right.$，
解得，x∈（0，$\frac{π}{2}$）或（2kπ-$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{π}{2}$）（（k為正整數(shù)）
或（2kπ+$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{3π}{2}$）（k為負(fù)整數(shù)）．
由于x∈（-π，π），則增區(qū)間為（0，$\frac{π}{2}$），（-π，-$\frac{π}{2}$），
同理解得，減區(qū)間為（$\frac{π}{2}$，π），（-$\frac{π}{2}$，0），
∴f（x）_極小值=f（0）=cos0+a=0①，f（x）_極大值=f（-$\frac{π}{2}$）=f（$\frac{π}{2}$）=$\frac{π}{2}$+a=b②，
由①②解得：a=-1，b=$\frac{π}{2}$-1．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求單調(diào)區(qū)間，考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．