Question

4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=4，經(jīng)過點(diǎn)P（1，2）的直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{3}t}\\{y=2+t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
（I）寫出圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線l的普通方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系得出直角坐標(biāo)方程，消去參數(shù)方程中的參數(shù)得出普通方程；
（II）把直線的參數(shù)方程代入圓的方程，利用參數(shù)得幾何意義和根與系數(shù)的關(guān)系得出．

解答 解：（I）∵ρ=4，∴ρ²=16，∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是x²+y²=16．
∵$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{3}t}\\{y=2+t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），∴x-$\sqrt{3}y$=1-2$\sqrt{3}$．
∴直線l的普通方程是x-$\sqrt{3}y$+2$\sqrt{3}$-1=0．
（II）直線l的斜率k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，傾斜角為$\frac{π}{6}$，且直線l過點(diǎn)（1，2）．
∴直線l的參數(shù)方程可化為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=2+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t是參數(shù)）．
把$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=2+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$代入x²+y²=16得t²+（2+$\sqrt{3}$）t-11=0．
∴t₁t₂=-11．
∴|PA|•|PB|=|t₁t₂|=11．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程，參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，參數(shù)方程的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．