Question

設(shè){a_n}是公比q＞1的等比數(shù)列，Sn為其前n項和，s₃=7，a₁+3，3a₂，a₃+4構(gòu)成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=n+lna_3n+1（n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的前n項和Tn．

Answer 1

分析：（1）由題意s₃=7，且a₁+3，3a₂，a₃+4構(gòu)成等差數(shù)列，求出首項和公比，從而求得數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）化簡b_n為 n（3ln2+1），可得數(shù)列{b_n}是以 3ln2+1為首項，以 3ln2+1為公差的等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的前n項和公式求出數(shù)列{b_n}的前n項和Tn 的值．

解答：解：（1）由題意s₃=7，且a₁+3，3a₂，a₃+4構(gòu)成等差數(shù)列，可得

a1+a1 q+a1q2=7 6a1q = a1 +3+a1q2+4

，解得

a1=1 q = 2

，或 

a1=4 q =  1 2

．
再由公比q＞1可得

a1=1 q = 2

，∴a_n=2^n-1 （n∈N^*）．
（2）由于數(shù)列{b_n}滿足b_n=n+lna_3n+1（n∈N^*），即b_n=n+ln2³ⁿ=n（3ln2+1），∴b_n+1 =（n+1）（3ln2+1），
∴b_n+1-b_n=3ln2+1 為常數(shù)，故數(shù)列{b_n}是以 3ln2+1為首項，以 3ln2+1為公差的等差數(shù)列．
∴數(shù)列{b_n}的前n項和Tn=

n(b1+bn)

2

=

3ln2 +1

2

 （n²+n）．

點評：本題主要考查等差數(shù)列的定義和性質(zhì)，等差數(shù)列的前n項和公式，等差關(guān)系的確定，等比數(shù)列的通項公式，屬于中檔題．