Question

設(shè){a_n}是公比q＞1的等比數(shù)列，若a₂₀₀₅和a₂₀₀₆是方程4x²-8x+3=0的兩個(gè)根，則a₂₀₀₇+a₂₀₀₈=

 

．

Answer 1

分析：先利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系得到以a₂₀₀₅+a₂₀₀₆=-

-8

4

=2和a₂₀₀₅•a₂₀₀₆=

3

4

；再把所得結(jié)論用a₂₀₀₅和q表示出來，求出q；最后把所求問題也用a₂₀₀₅和q表示出來即可的出結(jié)論．

解答：解：設(shè)等比數(shù)列的公比為q．
因?yàn)閍₂₀₀₅和a₂₀₀₆是方程4x²-8x+3=0的兩個(gè)根
所以a₂₀₀₅+a₂₀₀₆=-

-8

4

=2，a₂₀₀₅•a₂₀₀₆=

3

4

．
∴a₂₀₀₅（1+q）=2    ①
a₂₀₀₅•a₂₀₀₅•q=

3

4

    ②
∴

①2

②

=

(1+q)2

q

=

22

3 4

=

16

3

，
又因?yàn)閝＞1，所以解得q=3．
∴a₂₀₀₇+a₂₀₀₈=a₂₀₀₅•q²+a₂₀₀₅•q³
=a₂₀₀₅•（1+q）•q²=2×3²=18．
故答案為：18．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系以及等比數(shù)列的性質(zhì)．在解決本題的過程中用到了整體代入的思想，當(dāng)然本題也可以求出首項(xiàng)和公比再代入計(jì)算．